Dasar Aljabar: Garis dan Himpunan Affine
Untuk bergerak di lahan optimisasi berdimensi ganda, kita harus mendefinisikan bagaimana berpindah antara dua titik $x_1$ dan $x_2$. Garis matematis adalah himpunan semua titik $y$ yang memenuhi:
$$y = \theta x_1 + (1 - \theta)x_2$$
Secara ekuivalen, kita dapat memandang ini sebagai dimulai dari $x_2$ dan bergerak dalam arah $(x_1 - x_2)$ yang diskalakan oleh $\theta$: $y = x_2 + \theta(x_1 - x_2)$. Ketika $\theta$ berkisar pada semua bilangan real $\mathbb{R}$, kita menghasilkan sebuah himpunan affine. Sifat penting yang perlu diingat: Setiap garis adalah affine. Jika melewati nol, maka merupakan subruang, sehingga juga merupakan kerucut konveks.
Segmen garis adalah batasan di mana $0 \le \theta \le 1$. Berbeda dengan garis tak hingga, segmen garis adalah konveks, tetapi tidak affine (kecuali jika menyusut menjadi satu titik). Ini mewakili kumpulan semua "rata-rata tertimbang" atau campuran antara dua ujung.
Sinar, yang berbentuk $\{x_0 + \theta v \mid \theta \ge 0\}$, di mana $v \neq 0$, juga konveks, tetapi tidak affine. Sinar adalah blok dasar utama untuk kerucut dalam teori optimisasi.
Uji Litmus Konveksitas
Kita mendefinisikan himpunan $C$ sebagai konveks jika segmen garis yang menghubungkan dua titik dalam himpunan terletak sepenuhnya di dalam himpunan. Persyaratan sederhana ini—inklusi 'jembatan'—yang membuat masalah optimisasi dapat dikelola atau tak terpecahkan.
Contoh: Optimisasi Portofolio
Dalam keuangan, misalkan $x_1$ mewakili portofolio 100% saham dan $x_2$ adalah 100% obligasi. Segmen garis mewakili semua kemungkinan campuran tertimbang. Sebagai contoh, pemecahan 60/40 terjadi pada $\theta = 0.6$. Jika himpunan 'portofolio yang diperbolehkan' bersifat konveks, maka campuran dua portofolio yang valid akan selalu valid—sifat ini menyederhanakan penilaian risiko secara signifikan.